シミュレーション

これらのパスのそれぞれにおいて、投資損益を算出し、最後にその分布を検証します。

結果の見方

このように乱数を用いたシミュレーションは、発生させたパスの数だけ複数の異なる結果（最終投資損益）が得られます。

このようなばらつきのある結果を理解する為には、その特徴を把握した上で、結果を確率的に捉えることが必要です。

ばらつきの特徴

最終投資損益の分布（ばらつきの様子）は、左側に山が偏り、右側に長い裾野を持つ、左右非対称の形になります。※2

このような分布の場合、「平均値」は結果を代表する評価指標として適切ではありません。「平均値」は常に「中央値（確率50%で達成できる水準）」より大きな値となり、「平均値」が達成できる確率は50%未満になるからです。※3

結果を確率的に捉える

当サイトでは、こうした分布の特性を踏まえて、結果の代表値として「中央値」を採用して各種分析を行っています。※4、5

確率50%で起こり得る「中央値」を認識した上で、それよりも幸運な結果や不運な結果がどれくらいの確率で起こり得るか（例えば、上位10%の確率で起こり得る結果や、下位10%の確率で起こり得る結果がいくらか）を把握することによって、より正確に結果を理解することができるでしょう。※6

※1 期初の価格を100とした時の資産価格の推移。これらは全て同一の確率分布に従い発生させたパスです。ここではシミュレーションで発生させる多数のパスのうち、（表示上の都合により）30個のパスをサンプルとして掲載。

※2 収益率が正規分布に従う場合、その複利計算で実現する資産価値(及び投資損益)は、対数正規分布に従うことになります（期中の各種費用の支払い等を考慮した場合は、正確にはその限りではありませんが、よほどのことがない限り、実務上、最終資産価値または最終投資損益の分布は対数正規分布で近似できます）。分布の非対称性は、リスクが大きく、投資期間が長いほど強まり、中央値と平均値の差は拡大し、その逆の場合は、分布の非対称性は弱まり、中央値と平均値の差は縮小します。

※3 初期の資産価値をS、投資対象資産の期待リターンをμ/年、リスクをσ/年、投資期間をT年とした場合、その複利計算で実現する資産価値(及び投資損益)の中央値と平均値の関係は次のとおりです。

・中央値/平均値の比率 ： exp(0.5×σ^2×T)

・中央値と平均値の差 ：S×exp(μ×T)×(1-1/exp(0.5×σ^2×T))

・平均値の実現確率 ： 標準正規分布に従うZがとる値がz(=0.5×σ×√T)以上となる確率P(Z>=z)

この時、投資対象資産のリスクが大きいほど、また、投資期間が長いほど、最終資産価値（または、最終投資損益）の分布（対数正規分布）の非対称性は強まり、平均値と中央値は乖離して、平均値の達成確率は低下します。

例えば、投資対象資産のリスクが年率23%（国内株式を想定）、投資期間が10年の場合、中央値/平均値の比率は、exp(0.5×0.23^2×10)≒1.303、平均値の達成確率は、P(Z>=0.5×0.23×√10)＝P(Z>=0.364)≒36%となり、投資期間が30年になると、中央値/平均値の比率は、exp(0.5×0.23^2×30)≒2.211、平均値の達成確率は、P(Z>=0.5×0.23×√30)＝P(Z>=0.630)≒26%になります。これくらいのリスク水準だと、平均値と中央値は明らかに異なり、投資期間が長くなれば乖離の程度はさらに大きくなります。

一方、投資対象資産のリスクが年率2.5%の時（国内債券を想定）、投資期間が10年の場合、中央値/平均値の比率は、exp(0.5×0.025^2×30)≒1.003、平均値の達成確率は、P(Z>=0.5×0.025×√10)＝P(Z>=0.040)≒48%となり、投資期間が30年の場合は、中央値/平均値の比率は、exp(0.5×0.025^2×50)≒1.009、平均値の達成確率は、P(Z>=0.5×0.025×√30)＝P(Z>=0.068)≒47%になります。この程度のリスク水準では、より長期の投資期間を前提にしても、平均値と中央値はほぼ同水準となり、最終資産価値または最終投資損益の分布の形状も、ほぼ対称形になります。

※4 中央値はデータを小さい順に並べた時に中央に位置する値で、平均値と違って外れ値の影響をほとんど受けません。その為、結果の代表値としては、平均値よりも中央値の方が適しています。

※5 掲載すべき中央値は、本来は、それなりの推定精度を得る為に、多数回（例えば10万回）のシミュレーションを実行してその統計値を掲載すべきですが、当サイトでは、処理速度が十分でないPCやスマホでの計算負荷を考慮して、観測値の中央値ではなく、中央値に相当する数値を代表値として掲載しています。具体的には、投資資産の日次リターンが従う正規分布の平均をμ、標準偏差をσとした時、中央値に相当する数値として、連続複利の利回りを「μ－(σ^2)÷2」として計算した結果を掲載しています。

※6 乱数を用いたシミュレーションは、実行毎に異なる結果（最終投資損益）が得られ、そのばらつきは、時として無視できないほど大きくなります。そもそも、投資期間10年のシミュレーションを、多数回（例えば100回）実行した時に得られる結果は、10年間の投資を100回実行できる（すなわち、1,000年間、投資することができる）不老不死の仙人が参考にすべき数値です。せいぜい50年間程度しか投資できない個々の人間にとっては、100個のシミュレーション結果のどれが実現するかは、運・不運の要素が大きいのが現実です。シミュレーションはあくまでもシミュレーションであり、リスク性資産に投資する場合は「結果は時の運」と割り切ることも必要です。